Simple theorems in set theory

We list without proof several simple properties of these operations. These properties can be visualized with Venn diagrams.

PROPOSITION 1: For any sets A, B, and C:

• A ∩ A = A;

A ∪ A = A;

A \\ A = {};

A ∩ B = B ∩ A;

A ∪ B = B ∪ A;

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C);

C \\ (A ∩ B) = (C \\ A) ∪ (C \\ B);

C \\ (A ∪ B) = (C \\ A) ∩ (C \\ B);

C \\ (B \\ A) = (A ∩ C) ∪ (C \\ B);

(B \\ A) ∩ C = (B ∩ C) \\ A = B ∩ (C \\ A);

(B \\ A) ∪ C = (B ∪ C) \\ (A \\ C);

A ⊆ B if and only if A ∩ B = A;

A ⊆ B if and only if A ∪ B = B;

A ⊆ B if and only if A \\ B = {};

A ∩ B = {} if and only if B \\ A = B;

A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B;

A ∩ {} = {};

A ∪ {} = A;

{} \\ A = {};

A \\ {} = A.

PROPOSITION 2: For any universal set U and subsets A, B, and C of U:

• A'' = A;

B \\ A = A' ∩ B;

(B \\ A)' = A ∪ B';

A ⊆ B if and only if B' ⊆ A';

A ∩ U = A;

A ∪ U = U;

U \\ A = A';

A \\ U = {}.

PROPOSITION 3 (distributive laws): For any sets A, B, and C:

(a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

(b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

The above propositions show that the power set P(U) is a Boolean lattice.